今なぜ生きていると問うて
　あの時、あの時、そしてあの時と
　さかのぼれば結局いつも
　なぜ生まれたか
　という問いだけが残ってしまう


問題　任意の自然数ｎについて、一次化を用いずに、
　sinXのｎ乗の積分（ここでは＝∫sin^n X dxと表記します。）
を一般的に求める方法を試みてみましたが、
　ｎ乗だと「・・・」だらけになるので、とりあえず、
　ｎ乗については説明だけにして、具体的には、

　∫sin^9 X dx を求めてみます。

（ヒント）Pn(X)=(sin^(n-1) X)(cosX)として、その微分
　　Pn'(X)をsin^? X で表す。

解答の試み：　

一般的には
Pn'(X)=(n-1)sin^(n-2) X - n*sin^n X

P(n-2)'(X)=(n-3)sin^(n-4) X -(n-2)*sin^(n-2) X

　(n-1)　　　　　　(n-1)
∴-----*P(n-2)'(X)=-----*(n-3)sin^(n-4) X -(n-1)sin^(n-2) X
　(n-2)　　　　　　(n-2)

というふうにｎを２つずつ減らしながら
上の第１項と下の第２項が相殺されるように
係数を掛けていきます。そうしてｎが０か１になるまでを足すと
右辺は、中間が相殺されて、第２項にsin^n X が残り
　第１項はｎが偶数ならば（係数)*１が、
　　　　　　　奇数ならば（係数)*sin X が残ります。
左辺は、（係数)*P?'(X) の和になります。
その式において sin^n X 以外は積分可能なので
両辺を積分して整理することによって
　∫sin^n X dx = (１つのXか)（たくさんのsinX,cosXの和）
として求められるのではないかと考えました。

では、n=9 の場合について：

P9'(X)=8sin^7 X - 9sin^9 X ------------------(1)

P7'(X)=6sin^5 X - 7sin^7 X (8/7を両辺に掛ける）

　　8　　　　　8*6
∴ ---*P7'(X)=---*sin^5 X - 8*sin^7 X --------(2)
　　7　　　　　7

P5'(X)=4sin^3 X - 5sin^5 X　(8*6/7*5を両辺に掛ける）

　　8*6　　　　　8*6*4　　　　　8*6
∴ -----*P5'(X)=-----*sin^3 X - ---*sin^5 X ----(3)
　　7*5　　　　　7*5　　　　　　7

P3'(X)=2sinX-3sin^3 X (8*6*4/7*5*3を両辺に掛ける）

　8*6*4　　　　　8*6*4*2　　　　8*6*4
∴ -----*P3'(X)=-------*sinX - -----*sin^3 X ---(4)
　7*5*3　　　　　7*5*3　　　　　7*5

(1)+(2)+(3)+(4)、右辺中間は相殺されて

　　　8*6*4*2
右辺＝-------*sinX - 9sin^9 X
　　　　7*5*3

さらに右辺左辺を整理すると

　　　　　8*6*4*2　　　　1　　　　　8　　　　　　8*6
sin^9 X = -------sinX - ---P9'(X) - ---P7'(X) - -----P5'(X)
　　　　　9*7*5*3　　　　9　　　　　9*7　　　　　9*7*5

　　　　　8*6*4
　　　- -------P3'(X)
　　　　9*7*5*3

積分すると P?'(X) は P?(X) になるので元の関数に戻す

　　　　　　　8*6*4*2　　　　1　　　　　　　　　8
∫sin^9 X = - -------cosX - ---(sin^8 X)cosX - ---(sin^6 X)cosX
　　　　　　　9*7*5*3　　　　9　　　　　　　　9*7

　　　　8*6　　　　　　　　　8*6*4
　　　- -----(sin^4 X)cosX - -------(sin^2 X)cosX + Ｃ(積分定数)
　　　　9*7*5　　　　　　　　9*7*5*3

なお
同じようなことですが、

Pn'(X)=(n-1)sin^(n-2) X - n*sin^n X　より
n*sin^n X = (n-1)sin^(n-2) X - Pn'(X)
sin^n X = ((n-1)/n)(sin^(n-2) X )- (1/n)Pn'(X)

∴ ∫sin^n X dX = ((n-1)/n)∫sin^(n-2) X dX - (1/n)Pn(X)

この式の n を n-2 に置き換えた式

∫sin^(n-2) X dX = ((n-3)/(n-2))∫sin^(n-4) X dX - (1/(n-2))Pn-2(X)

を上の式の∫sin^(n-2) X dX に代入してゆく方法もあります。
部分積分の形で n を２つずつ減らしてゆくという方法です。


　　（２００８年６月１８日加筆分）

以上のことを考えながら・・・ちょっと苦しいが・・・？
一応、試みに　∫sin^ｎ�]d�]　の一般解を出してみた・・・（汗）。
　mを自然数として

(1)　ｎ＝2m（偶数）の場合

　∫sin^ｎ�]d�]＝∫sin^(2m)�]d�]＝

(2m−1)!!　　　m 　 (2m−1)!!(2m−2k)!!
―――――�]−�� ｛ ―――――――――― sin^(2m-2k+1)�] cos�]｝＋Ｃ
　(2m)!!　　　k=1 　(2m)!!（2m−2k＋1)!!

(2)　ｎ＝2m＋1（奇数）の場合

　∫sin^ｎ�]d�]＝∫sin^(2m＋1)�]d�]＝

　　 (2m)!!　　　　　 m　 (2m)!!（2m−2k＋1)!!
　− ―――― cos�]− �煤o――――――――――― sin^(2m-2k+2)�] cos�]｝＋Ｃ
　　 (2m＋1)!!　　　 k=1　(2m＋1)!!（2m−2k+2)!!

（※　（2ｍ)!!＝2ｍ(2ｍ−2)(2ｍ−4)*・・・*６*４*２
　(2ｍ＋1)!!＝(2ｍ＋1)(2ｍ−1)(2ｍ−3)*・・・*５*３*１
　　なお　０!!＝(−１)!!＝1　と定義されているらしい。
　　　またＣは積分定数。）

　（ちょっと自信のない２００８年６月１８日加筆分終わり）